TTC - Fibonacci Numbers and the Golden Ratio

[Candidosa2]

Lançado em 4/2024
MP4 | Vídeo: h264, 1280x720 | Áudio: AAC, 44,1 KHz, 2 canais
Gênero: eLearning | Idioma: Inglês | Duração: 12 Aulas (5h 32m) | Tamanho: 3,42GB


Em 1202, um matemático italiano e viajante ávido chamado Fibonacci introduziu um engenhoso sistema de números que era muito superior aos tradicionais algarismos romanos então em uso na Europa.

Em 1202, um matemático italiano e viajante ávido chamado Fibonacci introduziu um engenhoso sistema de números que era muito superior aos tradicionais algarismos romanos então em uso na Europa. Exibindo o sistema hindu-árabe, baseado em 10 dígitos de zero a nove, ele resolveu vários problemas matemáticos. Uma ideia matemática levou a uma sequência intrigante: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e assim por diante, onde cada número é a soma dos dois números anteriores. Mal suspeitava ele quão poderosa seria esta "sequência de Fibonacci", com conexões com muitas áreas da natureza e da matemática, incluindo
"She Loves Me.": O número de pétalas de uma flor tende a ser um número de Fibonacci. Lírios e íris: 3 pétalas. Botões de ouro, esporas e columbinas: 5 pétalas. Malmequeres de milho e Susans de olhos pretos: 13 pétalas. Alguns ásteres: 21 pétalas. Algumas margaridas: 34, 55 ou 89 pétalas. Todos os números de Fibonacci.
Algoritmo de Euclides: Embora o matemático grego Euclides seja muito anterior a Fibonacci, seu método para encontrar o máximo divisor comum de dois números tem uma conexão fascinante com a sequência de Fibonacci, onde quaisquer dois números consecutivos sempre têm um máximo divisor comum de 1.
Proporção Áurea: Se você percorrer a sequência de Fibonacci, calculando a proporção de números sucessivos, chegará cada vez mais perto de um valor chamado phi, que é aproximadamente 1,61803.... Não apenas aparece na natureza, mas também em formas. com essas proporções são esteticamente agradáveis ao olho humano.
Esses dois fenômenos relacionados – a sequência de Fibonacci e a proporção áurea – aparecem em quase todos os ramos da matemática: geometria, cálculo, álgebra linear, matemática discreta, teoria dos números e probabilidade, entre outros. No entanto, é necessário pouco conhecimento prévio para gerá-los e brincar com eles, proporcionando uma maneira infinitamente divertida de experimentar uma ampla gama de ideias matemáticas.
Números de Fibonacci e a Proporção Áurea é a sua introdução a este assunto atraente, ministrado pelo premiado educador e "matemágico" Professor Arthur T. Benjamin, do Harvey Mudd College. Em 12 palestras envolventes e perspicazes, ele apresenta provas, quebra-cabeças, truques de mágica, jogos e muito mais, todos centrados na aparentemente simples sequência de Fibonacci e na igualmente elementar proporção áurea.
Tudo começou com dois coelhos
O problema que levou Fibonacci à sua famosa sequência envolveu um par de coelhos (macho e fêmea) e como o seu número se acumula sob as seguintes condições. Os coelhos levam um mês para amadurecer, após o qual produzem outro par (macho e fêmea) e continuam a fazê-lo todos os meses. Seus descendentes têm os mesmos hábitos de acasalamento – um mês para amadurecer, depois um par de macho e fêmea a cada mês. Nenhum coelho morre. Quantos pares existirão depois de um mês, dois meses, três meses e assim por diante?
A resposta é a própria simplicidade. O número total de pares em qualquer mês é a soma dos dois meses anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.. Voilà, os números de Fibonacci !
O próprio Fibonacci estava menos interessado no crescimento populacional do que na aplicação repetida de uma regra e no padrão que emerge. Seu padrão revelou-se realmente muito produtivo, com conexões que se multiplicaram como coelhos desde então.
Triângulo de Pascal: Com conexões profundas com os números de Fibonacci, o triângulo de Pascal é construído criando um triângulo de números com 1 no vértice e cada linha abaixo composta por números que são a soma dos dois diretamente acima. Os espaços vazios são contados como 0.
Teorema de Zeckendorf: Todo número inteiro positivo pode ser representado exclusivamente como a soma de números de Fibonacci não consecutivos. Por exemplo, 100 = 89 + 8 + 3, com tudo à direita do sinal de igual um número de Fibonacci. A maneira eficiente de fazer isso é por meio do chamado algoritmo "ganancioso".
Fórmula de Binet: Suponha que você queira saber o milionésimo número de Fibonacci ou qualquer outro valor na sequência. Jacques Philippe Marie Binet escreveu uma fórmula usando a proporção áurea que permite calcular facilmente a resposta sem ter que calcular todos os números anteriores.

A Proporção Áurea Irracional
A proporção áurea, ou phi, é tão onipresente quanto a sequência de Fibonacci. Phi é um número irracional (o que significa que não pode ser expresso como uma fração de dois números inteiros) e pode ser produzido independentemente por uma ampla variedade de fórmulas em diferentes áreas da matemática. Aparece mais notoriamente como a proporção dos lados de um retângulo que é amplamente considerado o mais visualmente agradável de todos os quadriláteros. Este aspecto subjetivo torna phi conhecido entre os não-matemáticos, incluindo artistas, arquitetos, best-sellers romancistas e até financistas. O professor Benjamin discute onde alguns desses entusiastas exageram ao ver phi onde provavelmente não existe. Ele também se aprofunda em fenômenos genuínos envolvendo phi, como
Espirais de Girassol: A evolução encontrou a maneira mais eficiente de embalar sementes em um girassol. À medida que as sementes crescem uma de cada vez a partir do centro da flor, elas são empurradas para o lado em um ângulo relacionado ao phi, resultando em uma série de espirais bem espaçadas.
Folhagem: As plantas adoram phi – o mais irracional dos números irracionais – já que as folhas têm exposição máxima à luz solar se não brotarem em intervalos regulares em um caule. Por outro lado, se eles se repetem em frações de números inteiros, eles se acumulam.
Triângulo de Kepler: O astrônomo Johannes Kepler era obcecado pela proporção áurea e pelo teorema de Pitágoras (que rege os triângulos retângulos). Ele mostrou que é possível construir um triângulo retângulo no qual dois lados estão em uma relação simples com phi.
Ao longo dos Números de Fibonacci e da Proporção Áurea, o Professor Benjamin orienta você pelas etapas lógicas que levam a insights notáveis sobre esses números. "Não quero apenas apresentar fatos surpreendentes; quero que você realmente aprecie as razões por trás desses padrões surpreendentes", diz ele.
Felizmente, ele tem um entusiasmo contagiante pelas provas, que são a pedra angular da matemática, sem as quais a elaborada estrutura da disciplina entraria em colapso. "Por que esses números têm todas as propriedades surpreendentes que vimos e por que aparecem com tanta frequência na natureza?" ele pergunta. Para chegar às respostas, ele fornece as ferramentas conceituais que "nos permitem provar, sem sombra de dúvida, que os padrões que vimos através de apenas alguns exemplos serão verdadeiros para sempre.
"E garanto", diz o professor Benjamin, "que quando a lâmpada se acende e tudo faz sentido, é uma sensação incrível!"

O que você aprenderá?
Aprenda como gerar uma sequência infinita de números de Fibonacci
Descubra o segredo da proporção áurea e como ela leva ao retângulo áureo
Examine uma riqueza de ideias matemáticas relacionadas à sequência de Fibonacci e à proporção áurea
Veja como a evolução atingiu a sequência de Fibonacci e a proporção áurea para gerar padrões eficientes em grupos de sementes, folhas e pétalas de flores
Explore o uso dos números de Fibonacci e da proporção áurea na ficção, arte, arquitetura, música e outros domínios culturais
Investigue algumas afirmações duvidosas sobre os padrões de Fibonacci e da proporção áurea em edifícios e obras de arte notáveis

Pagina inicial
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